قضیه باناخ – اشتاین هاوس (اصل کرانداری یکنواخت)
اولین کاربرد قضیه کاتگوری بئر، اصل کرانداری یکنواخت یا قضیه باناخ – اشتاین هاوس می باشد. این قضیه می گوید که هر دنباله نقطه به نقطه کراندار از اپراتورهای کراندار، کراندار یکنواخت می باشند. بعبارت دیگر
فرض کنیم $X$ یک فضای باناخ و $Y$ فضای نرم دار باشد. اگر $\set{T_n}_{n\in\nat}\in B(X,Y)$ بطوریکه
\begin{eqnarray*}
\sup_{n\in\nat}{\abs{T_nx}}<\infty\qquad\qquad \forall x\in X
\end{eqnarray*}
آنگاه
\begin{eqnarray*}
\sup_{n\in\nat}{\abs{T_n}}<\infty
\end{eqnarray*}
