پارادوکس‌های ریاضیات

آن چه تناقض آمیز، باور نکردنی یا خلاف انتظار و شهود ماست ( آن چه به نظر درست می رسد ولی غلط است، به نظر غلط می رسد ولی دست است، یا به نظر غلط می رسد و واقعاً غلط است) پارادوکس یا باطلنما ^[1]Paradox خوانده می شود.
ممکن است فکر کنیم که پارادوکس ها ربطی به ریاضیات ندارند، یا این که « جزء ریاضیات» واقعی نیستند. و یا اساساً حقه و شعبده اند و به همین دلیل مفید نیستند، اما نه تنها چنین نیست بلکه عده ی زیادی آن ها را بخشی از ریاضیات به حساب می آورند که از نظر تاریخی در ایجاد انگیزه برای گسترش مرزهای دانش، تعمیق بینش، تعمیم شیوه های استدلال، افزایش دقت و وضع قوانین زبان شناختی جدید تأثیر شگرف داشته اند. مثلاً پارادوکس های زنون در تکامل حسابان در قرن های ۱۷ تا ۱۹، پارادوکس های نظریه ی مجموعه ها مانند پارادوکس های بورالی فورتی، کانتور و راسل در تدقیق نظریه ی ( شهودی) مجموعه های کانتور، پارادوکس دروغگو در طرح برهان قضیه ی ناتمامیت گودل در قرن بیستم ( که می گوید « این جمله اثبات شدنی نیست» در درون یک دستگاه صوری به قدر کافی بزرگ اثبات شدنی نیست)، پارادوکس بوچوفسکی در درک نارسایی های زبان و پارادوکس لامپ تامسون و پارادوکس تیر زنون در طرح مشکلات مفاهیم نظری در فیزیک نقش به سزایی داشتند.
بعضی پارادوکس ها که متضمن تناقضند صادق به نظر می رسند و حتی این ایده را به ذهن نزدیک می کنند که چرا تناقض ها را نپذیریم. می دانیم در ریاضیات کلاسیک به استناد استنتاج معتبر از
$(\neg A \wedge A)\Rightarrow B$ ، تناقض هر چیزی نتیجه می شود. اما چرا باید به این مطلب گردن نهاد؟ در واقع نوعی منطق به نام پیراسازگار وجود دارد که در آن تناقض پذیرفتنی است و بر خلاف ریاضیات کلاسیک، چنین نیست که از تناقض هر چیزی نتیجه شود.
ابزارهای متفاوتی برای رفع و رجوع پارادوکس ها به کار گرفته شده اند. مثلاً بوچفار در ۱۹۳۸ از منطق های سه ارزشی برای تحلیل پارادوکس ها استفاده کرد. همچنین می توان از فرازبان برای تفکیک جملات به لایه های مختلفی با نام های نوع اول، نوع دوم و … که روی آن ها درستی و نادرستی به طور مستقل تعیین می شوند استفاده کرد، کاری که مثلاً در مورد پارادوکس دروغگو که بیان می دارد « آن چه می گویم دروغ است» انجام شدنی است.
برای مثال آلفرد تارسکی با تقسیم زبان به دو لایه ی زبان موضوعی که در مورد امور بیرون از زبان صحبت می کند و فرازبان که در مورد زبان موضوعی سخن می راند، استدلال می کند که وقتی می گوییم « آن چه می گویم دروغ است»، عبارت « دروغ است» که متعلق به فرازبان است در لایه ی موضوعی به کار رفته است و لذا از نظر ساختار منطقی اشکال دارد.
با این حال، هر بار که پارادوکسی در ریاضیات ( و علم) ظاهر می شود، برای حل آن باید فهم خود را از آن چه داریم بهبود بخشیم یا تصحیح کنیم یا قوانین زبان شناختی مناسب وضع کنیم و این دلیل، برای قرار دادن پارادوکس ها در کالبد ریاضیات و جدی گرفتن آن ها کافی به نظر می رسد.

رده بندی پارادوکس ها:

در این بخش به رده بندی و معرفی بعضی از معروف ترین پارادوکس ها ( در ریاضیات) می پردازیم:
اولین پارادوکس های مورد مطالعه، پارادوکس های نظریه ی مجموعه ها است که به علت وجود مجموعه های بسیار بزرگ مانند مجموعه ی همه ی مجموعه ها به وجود می آیند. به خصوص این پارادوکس ها ضعف دیدگاه شهودی نظریه ی مجموعه های کانتور را نشان می دهند. در نظریه ی کانتور، مجموعه، یک گروه یا دسته از اشیاء معین است که هر شی دلخواه، یا عضو آن مجموعه باشد یا نباشد، به علاوه با هر خاصیت یک مجموعه مشخص می شود یعنی اگر
$\varphi$ یک محمول ( یا خاصیت) باشد، دسته ی همه ی $x$ هایی که برای آن ها
$\varphi(x)$ درست است، یک مجموعه به دست می دهد. البته دستگاه اصل موضوعی تسرملو و فرانکل که برای تنقیح نظریه ی مجموعه ها وضع شد با این اصل که « هر مجموعه ی ناتهی دارای عضوی است که اشتراکش با خود مجموعه تهی است» از ظهور این تناقض ها و نیز پارادوکس راسل جلوگیری می کند.

پارادوکس بورالی فورتی (۱)

ریاضی دان ایتالیایی به نام بورالی فورتی، در ۱۸۹۷ اولین پارادوکس در نظریه ی مجموعه ها را عرضه کرد. وی گفت اگر $A$ مجموعه ی همه ی عددهای ترتیبی باشد آن گاه با ترتیب طبیعی اش خوش ترتیب بوده و لذا عدد ترتیبی یکتایی مانند$\alpha$ است.
$\alpha$ باید از هر یک از اعضای $A$ و از جمله خود $\alpha$ اکیداً بزرگتر باشد که ممکن نیست.

پارادوکس کانتور (۲)

فرض کنید $A$ مجموعه ی همه ی مجموعه ها باشد، پس $P(A)=A$ لذا $card(P(A))=Card(A)$ از طرفی بنا به قضیه ی کانتور $Card(A)\le Card(P(A))$ و این تناقض است ( در این جا $Card(B)$ نمایش عدد اصلی ( یا به عبارت نادقیق تعداد اعضای) مجموعه B است).
بعضی پارادوکس ها خلاف شهود ما و باور نکردنی و در عین حال درست هستند مانند پارادوکس های باناخ – تارسکی و روز تولد:

پارادوکس باناخ – تارسکی (۳)

باناخ و تارسکی در ۱۹۲۴ به کمک اصل انتخاب اثبات کردند که می توان با برش یک گوی ( پرتقال) به شش قطعه، ایجاد حرکات صلب ( یعنی دوران و انتقال) و دوباره چسباندن آن ها دو گوی ( پرتقال) هم اندازه ی اولی به دست آورد. ( توجه کنید که قطعات مزبور اندازه پذیر لبگ نیستند زیرا در حرکات صلب، اندازه پایا است. ضمناً هیچ حکم مشابهی برای قرص مستدیر وجود ندارد).
در ۱۹۴۴ ر.م رابینسون تعداد قطعات را از شش به پنج تقلیل داد. همچنین در ۱۹۹۹ فرانسیس ادوارد سو از دانشگاه هاروارد نشان داد که اگر هر دو مجموعه ی کراندار در صفحه داد شده باشند همواره می توان یکی را با تقسیم به پنج قسمت و سپس حرکت در صفحه بر دیگری منطق کرد.

پارادوکس روز تولد (۴)

اگر ۲۳ نفر در یک سخنرانی شرکت کرده باشند، احتمال این که حداقل دو نفر روز تولدشان یکی باشد حدود ۰٫۵۰۷۳ است، اگر ۲۲ نفر شرکت کرده باشند این احتمال حدود ۰٫۴۷۵۷ و اگر بیش از ۵۷ نفر حضور داشته باشند این عدد بزرگتر از ۰٫۹۹ است.

بعضی پارادوکس ها نتایج نادرست حاصل از استدلال نادرست هستند. مانند پارادوکس دار غیرمنتظره، پارادوکس آشیل و لاک پشت زنون (فیلسوف قرن پنجم اهل الیا در جنوب ایتالیا و شاگرد پارامندیس) و پارادوکس استقراء:

پارادوکس دار غیرمنتظره (۵)

به یک زندانی گفته می شود که او در یکی از روزهای بین شنبه و پنجشنبه به دار آویخته خواهد شد، اما تا روز به دار آویخته شدن، وی نخواهد دانست که کدام روز اعدام می شود.
او روز پنجشنبه به دار آویخته نمی شود، زیرا اگر او تا چهارشنبه زنده باشد می فهمد که اعدام در روز پنجشنبه صورت خواهد گرفت، اما به او گفته می شود که وی از روزی که به دار کشیده می شود پیشاپیش آگاه نیست. او روز چهارشنبه نیز اعدام نمی شود زیرا اگر تا سه شنبه زنده بماند، با توجه به این که بنا به استدلال بالا روز پنجشنبه اعدام نمی شود، می فهمد که روز چهارشنبه اعدام انجام نخواهد شد. استدلال های مشابه نشان می دهد که او در هیچ یک از روزهای دیگر نیز نمی تواند اعدام شود.
اما در روزی غیر از پنجشنبه جلاد وارد می شود و وی را اعدام می کند.

پارادوکس آشیل و لاک پشت زنون (۶)

در مسابقه « دو» بین آشیل تندرو و لاک پشت کندرو، آشیل که کمی عقب تر از لاک پشت است، هیچ گاه به او نمی رسد. زیرا ابتدا باید به نقطه ای برسد که لاک پشت از آن جا حرکت کرده است. اما وقتی به آن جا می رسد لاک پشت قدری جلوتر رفته است و همان وضعیت قبل روی می دهد و با تکرار این روند، گرچه آشیل به لاک پشت نزدیک می شود ولی هیچ گاه به او نمی رسد.

پارادوکس حس کچل (۷)

اگر حسن یک تار مو داشته باشد کچل است. اگر حسن n تار مو داشته باشد و کچل باشد، آن گاه اگر یک تار موی دیگر نیز روی سرش بروید ( یا رویانده شود) یعنی دارای $n+1$ تار مو شود باز هم کچل است. پس بنا به استقرای ریاضی، حسن هر تعداد تار مو داشته باشد کچل است.

تعدادی از پارادوکس ها ناشی از تعریف های مبهم هستند مانند پارادوکس های توده، ریچارد، اژدها و تخته سیاه:

پارادوکس توده ( کپه) (۸)

یک دانه گندم یک توده گندم نیست. با اضافه کردن یک دانه گندم، به دو دانه دست می یابیم که باز هم توده گندم نیست. با اضافه کردن یک دانه گندم دیگر، سه دانه خواهیم داشت که توده محسوب نمی شود. اگر این عمل را تکرار کنیم، هیچ گاه به توده گندم نمی رسیم. اما زمانی که گردآیه گندم ها به قدر کافی بزرگ شود، توده نامیده می شود.

پارادوکس ریچارد (۹)

آیا « کوچکترین عدد طبیعی که نتوان آن را با کم تر از صد حرف تعریف کرد» وجود دارد؟ چون تعداد اعداد طبیعی نامتناهی و تعداد حروف زبان فارسی متناهی است پس عددی وجود دارد که نمی توان آن را با عبارتی شامل کم تر از صد حرف فارسی تعریف کرد. بنا به اصل خوش ترتیبی اعداد طبیعی، کوچکترین عدد طبیعی که نتوان آن را با کم تر از صد حرف فارسی تعریف کرد وجود دارد. اما عبارت بالا که بین دو نماد گیومه قرار دارد کم تر از صد حرف ( یعنی پنجاه و سه حرف) دارد، یعنی عدد ارائه شده سبا کم تر از صد حرف فارسی تعریف شد.

پارادوکس اژدها (۱۰)

چگونه می توانیم راجع به چیزی که وجود ندارد صحبت کنیم، وقتی که می گوییم « اژدهای هفت سر وجود ندارد».

پارادوکس تخته سیاه (۱۱)

تخته سیاهی را در نظر بگیرید که روی آن علاوه بر اعداد ۲، ۱ و ۳ جمله « کوچکترین عدد طبیعی که روی این تخته سیاه ارائه نشده است». نوشته شده است. در این صورت گرچه عدد ۴ روی تخته سیاه نمایش داده نشده است، ولی عبارت مذکور روی تخته سیاه مبین ۴ است.

پارادوکسی مانند بوچوفسکی مشعر به نارسایی های زبان است:

پارادوکس بوچوفسکی (۱۲)

فرض کنید شما فقط دو برادر دارید که هر دو از شما مسن تر هستند. در این صورت جمله به ظاهر غلط ذیل، راست است:
« برادر جوان ترم از من مسن تر است».

پوانکاره و راسل دریافتند که بروز بسیاری از پارادوکس ها مانند پارادوکس راسل، کانتور و … به علت وجود تعریف های غیر حملی در آن ها است. یک تعریف غیر حملی، تعریفی است که در آن یک شی با ارجاع به خود شی تعریف می شود، مثلاً وقتی یک شی $a$ و یک مجموعه ی $A$ طوری تعریف شوند که $a$ عضو $A$ باشد ولی تعریف $a$ فقط با مراجعه به $A$ ارائه گردد، مانند مفهوم کوچکترین کران بالایی یک مجموعه که به عنوان کوچکترین عضو مجموعه ی متشکل از همه ی کران های بالای آن مجموعه تعریف می شود. پارادوکس های آرایشگر، راسل، فهرست، خودناتوصیف، اسمارندارچ و بری از این دسته اند:

پارادوکس آرایشگر (۱۳)

در دهکده ای فقط یک آرایشگر وجود دارد. او فقط ریش کسانی را می تراشد که ریش خود را نمی تراشند. سؤال این است که ریش خود آرایشگر را چه کسی می تراشد؟
اگر او ریش خود را نتراشد، باید نزد آرایشگر یعنی خودش، برود تا ریش خود را بتراشد و اگر ریش خود را بتراشد، نباید توسط آرایشگر یعنی خودش، ریشش تراشیده شود.

پارادوکس راسل (۱۴)

فرض کنید $\phi$ خاصیت عضو خود نبودن باشد و $A=\setm{x}{x\notin x}$ درست است . پس بنا به نظریه ی مجموعه های کانتور، $A$ یک مجموعه است و لذا یا $A\in A$ یا $A\notin A$ . اگر $A\in A$ ، بنا به تعریف $A$، $A\notin A$ ؛ و اگر $A\notin A$ ، بنا به تعریف A باید $A\in A$ . پس در هر حال تناقض داریم.

پارادوکس خود ناتوصیف (۱۵)

خود ناتوصیف، کلمه ای است که خودش را توصیف نمی کند. پس کلمه « خود ناتوصیف» خود ناتوصیف است اگر و فقط اگر خود ناتوصیف نباشد.

پارادوکس فهرست (۱۶)

کتابشناسی در حال تدوین یک فهرست از کتاب شناسی هایی است که نام خود را در فهرست ذکر نکرده اند. آیا فهرست این کتابشناس، نام خودش را نیز در بر می گیرد؟

پارادوکس اسمارانداچ (۱۷)

فرض کنید $A$ یکی از عبارات ممکن، حاضر، کامل و … باشد. در این صورت عبارت « همه چیز $A$ است» ایجاب می کند $\neg A$ که نیز $A$ باشد.
مثلاً ‌وقتی می گوییم « همه چیز ممکن است » ، نتیجه می شود که « غیر ممکن نیز ممکن است » ، یا از ” هیچ چیز کامل نیست » این که « کامل نیز کامل نیست » مستفاد می شود.

پارادوکس بری (۱۸)

این پارادوکس اولین بار در نوشته های برتراند راسل با انتساب آن به آقای ک.بری، کتابدار دانشگاه آکسفورد، درج شده است. « اولین عددی که نمی تواند با کم تر از هزار کلمه فارسی مشخص شد.» اما عبارت اخیر فقط دوازده کلمه دارد و بنابراین عدد مورد نظر می تواند با کم تر از هزار کلمه معرفی شود.

دسته ای از پارادوکس ها ناشی از اشکالاتی در اصول و تعاریف ما است. در این مورد می توان از پارادوکس های آلبرت ساکسونی، سقراط و قبیله ی وحشی نام برد. یکی از مشهورترین پارادوکس ها، پارادوکس دروغگو است که پارادوکس های بالا ناظر به آن هستند و در زیر به شرح آن می پردازیم:

پارادوکس دروغگو (۱۹) یا پارادوکس ائوبولیدس (۲۰)

می گویند روزی ائوبولیدس، متفکر یونانی قرن چهارم قبل از میلاد، گفت: « چیزی که الان می گویم دروغ است.» اگر گفته ی او درست باشد، آن گاه بنا به آن چه گفته است، باید گفته اش دروغ باشد؛ و اگر گفته ی او دروغ باشد، دو باره بنا به آن چه گفته است نتیجه می شود که گفته اش درست است.

پارادوکس آلبرت ساکسونی (۲۱)

این پارادوکس توسط آلبرت ساکسونی در قرون وسطی طرح گردیده است.
جمله $p$ این است: « $q$ دروغ است.»
جمله $q$ این است: « $p$ راست است.»
نکته جالب این است که اگر ما دارای یک منطق سه ارزشی باشیم که در آن گزاره ها فقط بتوانند یکی از ارزش های « راست»، « دروغ» و « تصمیم ناپذیر» را داشته باشند آن گاه گزاره ی p به صورت « p دروغ یا تصمیم ناپذیر است» نمی تواند هیچ یک از ارزش های « راست»، « دروغ» و « تصمیم ناپذیر» را به خود بگیرد.

پارادوکس سقراط (۲۲)

نقل شده است که سقراط روزی گفته است: « چیزی که می دانم این است که من هیچ چیز نمی دانم.»

پارادوکس قبیله وحشی (۲۳)

در جزیره ای قبیله ای وحشی زندگی می کردند که دو خدا، خدای راستی و خدای دروغ داشتند. آن ها هر کس را که به جزیره می آمد قربانی می کردند، به این ترتیب که از وی سؤالی می پرسیدند، اگر راست می گفت او را قربانی خدای راستی و اگر دروغ می گفت، او را قربانی خدای دروغ می کردند. روزی شخصی وارد جزیره شد. او را گرفتند و از او پرسیدند: « سرنوشت تو چه خواهد بود؟» آن شخص جواب داد: « شما من را قربانی خدای دروغ خواهید کرد».
با این جواب وحشی ها مستأصل شدند زیرا نمی دانستند وی راست می گوید یا دروغ. اگر راست گفته باشد باید قربانی خدای راستی شود و اگر دروغ گفته باشد، باید قربانی خدای دروغ شود.

بعضی پارادوکس ها مانند لامپ تامسون و اشتقاق به دو بخش ناشی از مشکلات فلسفی مربوط به مفاهیم نظری در فیزیک مانند حرکت، زمان و … مربوطند:

پارادوکس لامپ تامسون (۲۴)

لامپی به مدت $\frac{1}{2}$ روشن می شود، سپس برای $\frac{1}{4}$ دقیقه خاموش می شود، به مدت $\frac{1}{8}$ دقیقه روشن می شود و قس علی هذا. درست بعد از یک دقیقه، لامپ روشن خواهد بود یا خاموش؟

پارادوکس اشتقاق به دو بخش زنون (۲۵)

این پارادوکس در ارتباط با امکان بی نهایت بار تقسیم پذیری زمان و مکان ارائه شده است:
در صورتی که پاره خط بی نهایت بار تقسیم پذیر باشد، حرکت ناممکن است، زیرا برای این که پاره خطی مانند AB را با شروع از نقطه A بپیماییم، ابتدا باید به نقطه ی وسط آن C برسیم. برای این که AC پیموده شود، باید به نقطه ی وسط آن D برسیم و قس علی هذا. پس نمی توان حتی از نقطه A حرکت کرد.

پارادوکس تیر زنون (۲۶)

در صورتی که زمان از لحظه های کوچک تقسیم ناپذیر تشکیل شده باشد، تیری که از کمانی پرتاب می شود، همواره در یک جاست، زیرا تیر در هر لحظه در وضعیتی ثابت است و این مطلب در مورد هر لحظه درست می باشد.

و بالاخره بحث را با پارادوکس نیوکام که نشان می دهد پیدایش بعضی پارادوکس ها به خاطر وجود فرض های غلط و یا ناکامل است خاتمه می دهیم:

پارادوکس نیوکام (۲۷)

فرض کنید دو جعبه $A$ و $B$ داده شده باشد. در جعبه $A$ باز و در جعبه $B$ بسته باشد. $A$ شامل ۱۰۰۰ دلار و $B$ شامل ۱۰۰۰۰۰۰ دلار است و یا شامل هیچ چیز نیست. شما فقط باید جعبه $B$ را انتخاب کنید و یا هر دو جعبه $A$ و $B$ را. اما قبل از این که شما انتخاب خود را انجام دهید، پیشگویی بر اساس انتخابی که شما انجام خواهید داد، در جعبه $B$ ،۱۰۰۰۰۰۰ دلار قرار می دهد اگر شما فقط جعبه $B$ را انتخاب کنید و هیچ چیز نمی گذارد اگر شما هر دو جعبه $A$ و $B$ را انتخاب کنید.
سؤال: اگر شما به انتخاب فقط $B$ تمایل داشته باشید، می توانید $A$ را نیز انتخاب کنید؟