حل تمرین 28 از فصل اول کتاب آنالیز حقیقی فولند

1. فرض کنیم $E_i=(a-\frac{1}{i},a]$ لذا $E_{i+1}\sci E_i$ و
   \begin{eqnarray*}
   \set{a}=\bigcap_{n=1}^\infty E_i
   \end{eqnarray*}
   در نتیجه بنابر پیوستگی از بالای $\mu_F$ داریم
   \begin{eqnarray*}
   \mu_F(\set{a})&=&\lim_{i\to\infty}\mu_F(E_i)\\
   &=&\lim_{i\to\infty}\mu_F\para{(a-\frac{1}{i},a]}\\
   &=&\lim_{i\to\infty}\para{F(a)-F(a-\frac{1}{i})}
   \end{eqnarray*}
   حال چون $F$ تابعی صعودی می باشد لذا
   \begin{eqnarray*}
   \lim_{i\to\infty}F(a-\frac{1}{i})&=&\sup\setwm{F(x)}{x< a}\\ &=&F(a^-) \end{eqnarray*} در نتیجه $\mu_F(\set{a})=F(a)-F(a^-)$
2. چون
   \begin{eqnarray*}
   [a,b)&=&[a,\frac{a+b}{2}]\bigcup(a,b)\\
   &=&\para{\bigcap_i^\infty(a-\frac{1}{i},\frac{a+b}{2})}\bigcup\para{\bigcup_j^\infty(a,b-\frac{1}{j}]}
   \end{eqnarray*}
   همانند بخش قبل داریم
   \begin{eqnarray*}
   \mu_F\para{[a,\frac{a+b}{2}]}&=& \lim_{i\to\infty}\mu_F\para{\bigcap_i^\infty(a-\frac{1}{i},\frac{a+b}{2})}\\
   &=&\lim_{i\to\infty}\para{F(\frac{a+b}{2})-F(a-\frac{1}{i})}\\
   &=&F(\frac{a+b}{2})-F(a^-)
   \end{eqnarray*}
   از طرفی بنابر پیوستگی از پایین $\mu_F$ داریم
   \begin{eqnarray*}
   \mu_F((a,b))&=&\lim_{j\to\infty}\mu_F\para{\bigcup_j^\infty(a,b-\frac{1}{j}]}\\
   &=&\lim_{j\to\infty}\mu_F\para{F(b-\frac{1}{j})-F(a)}\\
   &=&F(b^-)-F(a)
   \end{eqnarray*}
   حال با استفاده از خواص اندازه داریم
   \begin{eqnarray*}
   \mu_F([a,b))&=&\mu_F\para{[a,\frac{a+b}{2}]}+\mu_F((a,b))\\
   &-&\mu_F\para{(a,b)\bigcap[a,\frac{a+b}{2}]}\\
   &=&\mu_F([a,\frac{a+b}{2}])+\mu_F((a,b))\\
   &-&\mu_F((a,\frac{a+b}{2}])\\
   &=&\para{F(\frac{a+b}{2})-F(a^-)}+\para{F(b^-)-F(a)}\\
   &-&\para{F(\frac{a+b}{2})-F(a)}\\
   &=&F(b^-)-F(a^-)
   \end{eqnarray*}

بقیه بندهای نیز شبیه بند بالا حل می شود